高阶导数高阶导数是微积分中的重要概念，它帮助我们研究函数的更高阶变化率。

高阶导数的定义定义：函数 f(x)f(x)f(x) 的 nnn 阶导数记作 f(n)(x)f^{(n)}(x)f(n)(x) 或 dnfdxn\frac{d^n f}{dx^n}dxndnf​，定义为

f(n)(x)=ddx(f(n−1)(x))f^{(n)}(x) = \frac{d}{dx}(f^{(n-1)}(x))f(n)(x)=dxd​(f(n−1)(x))

高阶导数的物理意义一阶导数：瞬时速度二阶导数：瞬时加速度三阶导数：加加速度（急动度） 常见函数的高阶导数1. 幂函数(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}(xn)′=nxn−1(xn)′′=n(n−1)xn−2(x^n)'' = n(n-1)x^{n-2}(xn)′′=n(n−1)xn−2(xn)′′′=n(n−1)(n−2)xn−3(x^n)''' = n(n-1)(n-2)x^{n-3}(xn)′′′=n(n−1)(n−2)xn−3(xn)(k)=n!(n−k)!xn−k(x^n)^{(k)} = \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}(xn)(k)=(n−k)!n!​xn−k（k≤nk \leq nk≤n）2. 指数函数(ex)′=ex(e^x)' = e^x(ex)′=ex(ex)′′=ex(e^x)'' = e^x(ex)′′=ex(ex)′′′=ex(e^x)''' = e^x(ex)′′′=ex(ex)(n)=ex(e^x)^{(n)} = e^x(ex)(n)=ex3. 三角函数正弦函数：

(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x(sinx)′=cosx(sin⁡x)′′=−sin⁡x(\sin x)'' = -\sin x(sinx)′′=−sinx(sin⁡x)′′′=−cos⁡x(\sin x)''' = -\cos x(sinx)′′′=−cosx(sin⁡x)(4)=sin⁡x(\sin x)^{(4)} = \sin x(sinx)(4)=sinx余弦函数：

(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x(cosx)′=−sinx(cos⁡x)′′=−cos⁡x(\cos x)'' = -\cos x(cosx)′′=−cosx(cos⁡x)′′′=sin⁡x(\cos x)''' = \sin x(cosx)′′′=sinx(cos⁡x)(4)=cos⁡x(\cos x)^{(4)} = \cos x(cosx)(4)=cosx4. 对数函数(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}(lnx)′=x1​(ln⁡x)′′=−1x2(\ln x)'' = -\frac{1}{x^2}(lnx)′′=−x21​(ln⁡x)′′′=2x3(\ln x)''' = \frac{2}{x^3}(lnx)′′′=x32​(ln⁡x)(n)=(−1)n−1(n−1)!xn(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}(lnx)(n)=(−1)n−1xn(n−1)!​ 高阶导数的运算法则1. 线性性(af+bg)(n)=af(n)+bg(n)(af + bg)^{(n)} = af^{(n)} + bg^{(n)}(af+bg)(n)=af(n)+bg(n)2. 莱布尼茨公式公式：(uv)(n)=∑k=0nCnku(k)v(n−k)(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}(uv)(n)=∑k=0n​Cnk​u(k)v(n−k)

其中 Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}Cnk​=k!(n−k)!n!​ 是组合数。

3. 复合函数的高阶导数对于复合函数 f(g(x))f(g(x))f(g(x))，高阶导数的计算比较复杂，通常需要使用链式法则的推广形式。

莱布尼茨公式的应用例子 1：求 (x2sin⁡x)′′(x^2 \sin x)''(x2sinx)′′解：

使用莱布尼茨公式：n=2n = 2n=2(x2)′=2x(x^2)' = 2x(x2)′=2x，(x2)′′=2(x^2)'' = 2(x2)′′=2(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x(sinx)′=cosx，(sin⁡x)′′=−sin⁡x(\sin x)'' = -\sin x(sinx)′′=−sinx(x2sin⁡x)′′=C20⋅2⋅sin⁡x+C21⋅2x⋅cos⁡x+C22⋅x2⋅(−sin⁡x)(x^2 \sin x)'' = C_2^0 \cdot 2 \cdot \sin x + C_2^1 \cdot 2x \cdot \cos x + C_2^2 \cdot x^2 \cdot (-\sin x)(x2sinx)′′=C20​⋅2⋅sinx+C21​⋅2x⋅cosx+C22​⋅x2⋅(−sinx)=2sin⁡x+4xcos⁡x−x2sin⁡x= 2\sin x + 4x\cos x - x^2\sin x=2sinx+4xcosx−x2sinx例子 2：求 (exln⁡x)′′(e^x \ln x)''(exlnx)′′解：

使用莱布尼茨公式：n=2n = 2n=2(ex)′=ex(e^x)' = e^x(ex)′=ex，(ex)′′=ex(e^x)'' = e^x(ex)′′=ex(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}(lnx)′=x1​，(ln⁡x)′′=−1x2(\ln x)'' = -\frac{1}{x^2}(lnx)′′=−x21​(exln⁡x)′′=C20⋅ex⋅ln⁡x+C21⋅ex⋅1x+C22⋅ex⋅(−1x2)(e^x \ln x)'' = C_2^0 \cdot e^x \cdot \ln x + C_2^1 \cdot e^x \cdot \frac{1}{x} + C_2^2 \cdot e^x \cdot (-\frac{1}{x^2})(exlnx)′′=C20​⋅ex⋅lnx+C21​⋅ex⋅x1​+C22​⋅ex⋅(−x21​)=ex(ln⁡x+2x−1x2)= e^x(\ln x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2})=ex(lnx+x2​−x21​) 高阶导数的几何意义1. 二阶导数的几何意义f′′(x)>0f''(x) > 0f′′(x)>0：函数在该点附近是凸的f′′(x)<0f''(x) < 0f′′(x)<0：函数在该点附近是凹的f′′(x)=0f''(x) = 0f′′(x)=0：可能是拐点2. 拐点的判定如果 f′′(c)=0f''(c) = 0f′′(c)=0 且 f′′′(c)≠0f'''(c) \neq 0f′′′(c)=0，则 x=cx = cx=c 是函数 f(x)f(x)f(x) 的拐点。

常见错误和注意事项1. 莱布尼茨公式错误错误：(uv)′′=u′′v′′(uv)'' = u''v''(uv)′′=u′′v′′ 正确：(uv)′′=u′′v+2u′v′+uv′′(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''(uv)′′=u′′v+2u′v′+uv′′

2. 符号错误错误：(cos⁡x)′′=cos⁡x(\cos x)'' = \cos x(cosx)′′=cosx 正确：(cos⁡x)′′=−cos⁡x(\cos x)'' = -\cos x(cosx)′′=−cosx

3. 阶数错误错误：(x3)′′=3x2(x^3)'' = 3x^2(x3)′′=3x2 正确：(x3)′′=6x(x^3)'' = 6x(x3)′′=6x

4. 复合函数错误对于复合函数的高阶导数，不能简单地应用莱布尼茨公式。

练习题练习 1求函数 f(x)=x3sin⁡xf(x) = x^3 \sin xf(x)=x3sinx 的三阶导数。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 使用莱布尼茨公式求高阶导数。

详细步骤：

使用莱布尼茨公式：(uv)(3)=∑k=03C3ku(k)v(3−k)(uv)^{(3)} = \sum_{k=0}^{3} C_3^k u^{(k)} v^{(3-k)}(uv)(3)=∑k=03​C3k​u(k)v(3−k)(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2(x3)′=3x2，(x3)′′=6x(x^3)'' = 6x(x3)′′=6x，(x3)′′′=6(x^3)''' = 6(x3)′′′=6(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x(sinx)′=cosx，(sin⁡x)′′=−sin⁡x(\sin x)'' = -\sin x(sinx)′′=−sinx，(sin⁡x)′′′=−cos⁡x(\sin x)''' = -\cos x(sinx)′′′=−cosxf′′′(x)=C30⋅6⋅sin⁡x+C31⋅6x⋅(−sin⁡x)+C32⋅3x2⋅(−cos⁡x)+C33⋅x3⋅(−cos⁡x)f'''(x) = C_3^0 \cdot 6 \cdot \sin x + C_3^1 \cdot 6x \cdot (-\sin x) + C_3^2 \cdot 3x^2 \cdot (-\cos x) + C_3^3 \cdot x^3 \cdot (-\cos x)f′′′(x)=C30​⋅6⋅sinx+C31​⋅6x⋅(−sinx)+C32​⋅3x2⋅(−cosx)+C33​⋅x3⋅(−cosx)f′′′(x)=6sin⁡x−18xsin⁡x−9x2cos⁡x−x3cos⁡xf'''(x) = 6\sin x - 18x\sin x - 9x^2\cos x - x^3\cos xf′′′(x)=6sinx−18xsinx−9x2cosx−x3cosx答案：f′′′(x)=6sin⁡x−18xsin⁡x−9x2cos⁡x−x3cos⁡xf'''(x) = 6\sin x - 18x\sin x - 9x^2\cos x - x^3\cos xf′′′(x)=6sinx−18xsinx−9x2cosx−x3cosx

练习 2求函数 f(x)=exln⁡xf(x) = e^x \ln xf(x)=exlnx 的二阶导数。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 使用莱布尼茨公式求二阶导数。

详细步骤：

使用莱布尼茨公式：(uv)′′=u′′v+2u′v′+uv′′(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''(uv)′′=u′′v+2u′v′+uv′′(ex)′=ex(e^x)' = e^x(ex)′=ex，(ex)′′=ex(e^x)'' = e^x(ex)′′=ex(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}(lnx)′=x1​，(ln⁡x)′′=−1x2(\ln x)'' = -\frac{1}{x^2}(lnx)′′=−x21​f′′(x)=ex⋅ln⁡x+2ex⋅1x+ex⋅(−1x2)f''(x) = e^x \cdot \ln x + 2e^x \cdot \frac{1}{x} + e^x \cdot (-\frac{1}{x^2})f′′(x)=ex⋅lnx+2ex⋅x1​+ex⋅(−x21​)f′′(x)=ex(ln⁡x+2x−1x2)f''(x) = e^x(\ln x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2})f′′(x)=ex(lnx+x2​−x21​)答案：f′′(x)=ex(ln⁡x+2x−1x2)f''(x) = e^x(\ln x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2})f′′(x)=ex(lnx+x2​−x21​)

练习 3求函数 f(x)=x2cos⁡xf(x) = x^2 \cos xf(x)=x2cosx 的四阶导数。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 使用莱布尼茨公式求四阶导数。

详细步骤：

使用莱布尼茨公式：(uv)(4)=∑k=04C4ku(k)v(4−k)(uv)^{(4)} = \sum_{k=0}^{4} C_4^k u^{(k)} v^{(4-k)}(uv)(4)=∑k=04​C4k​u(k)v(4−k)(x2)′=2x(x^2)' = 2x(x2)′=2x，(x2)′′=2(x^2)'' = 2(x2)′′=2，(x2)′′′=0(x^2)''' = 0(x2)′′′=0，(x2)(4)=0(x^2)^{(4)} = 0(x2)(4)=0(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x(cosx)′=−sinx，(cos⁡x)′′=−cos⁡x(\cos x)'' = -\cos x(cosx)′′=−cosx，(cos⁡x)′′′=sin⁡x(\cos x)''' = \sin x(cosx)′′′=sinx，(cos⁡x)(4)=cos⁡x(\cos x)^{(4)} = \cos x(cosx)(4)=cosxf(4)(x)=C40⋅0⋅cos⁡x+C41⋅0⋅sin⁡x+C42⋅2⋅(−cos⁡x)+C43⋅2x⋅(−sin⁡x)+C44⋅x2⋅cos⁡xf^{(4)}(x) = C_4^0 \cdot 0 \cdot \cos x + C_4^1 \cdot 0 \cdot \sin x + C_4^2 \cdot 2 \cdot (-\cos x) + C_4^3 \cdot 2x \cdot (-\sin x) + C_4^4 \cdot x^2 \cdot \cos xf(4)(x)=C40​⋅0⋅cosx+C41​⋅0⋅sinx+C42​⋅2⋅(−cosx)+C43​⋅2x⋅(−sinx)+C44​⋅x2⋅cosxf(4)(x)=0+0−12cos⁡x−8xsin⁡x+x2cos⁡xf^{(4)}(x) = 0 + 0 - 12\cos x - 8x\sin x + x^2\cos xf(4)(x)=0+0−12cosx−8xsinx+x2cosx答案：f(4)(x)=(x2−12)cos⁡x−8xsin⁡xf^{(4)}(x) = (x^2 - 12)\cos x - 8x\sin xf(4)(x)=(x2−12)cosx−8xsinx

练习 4求函数 f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2 + 1)f(x)=ln(x2+1) 的三阶导数。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 使用复合函数求导法则。

详细步骤：

f′(x)=2xx2+1f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}f′(x)=x2+12x​f′′(x)=2(x2+1)−2x⋅2x(x2+1)2=2(1−x2)(x2+1)2f''(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}f′′(x)=(x2+1)22(x2+1)−2x⋅2x​=(x2+1)22(1−x2)​f′′′(x)=ddx(2(1−x2)(x2+1)2)=2(−2x)(x2+1)2−2(1−x2)⋅2(x2+1)⋅2x(x2+1)4f'''(x) = \frac{d}{dx}(\frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}) = \frac{2(-2x)(x^2 + 1)^2 - 2(1 - x^2) \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4}f′′′(x)=dxd​((x2+1)22(1−x2)​)=(x2+1)42(−2x)(x2+1)2−2(1−x2)⋅2(x2+1)⋅2x​f′′′(x)=4x(3x2−1)(x2+1)3f'''(x) = \frac{4x(3x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^3}f′′′(x)=(x2+1)34x(3x2−1)​答案：f′′′(x)=4x(3x2−1)(x2+1)3f'''(x) = \frac{4x(3x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^3}f′′′(x)=(x2+1)34x(3x2−1)​

练习 5求函数 f(x)=sin⁡(x2)f(x) = \sin(x^2)f(x)=sin(x2) 的二阶导数。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 使用复合函数求导法则。

详细步骤：

f′(x)=cos⁡(x2)⋅2x=2xcos⁡(x2)f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)f′(x)=cos(x2)⋅2x=2xcos(x2)f′′(x)=2cos⁡(x2)+2x⋅(−sin⁡(x2)⋅2x)=2cos⁡(x2)−4x2sin⁡(x2)f''(x) = 2\cos(x^2) + 2x \cdot (-\sin(x^2) \cdot 2x) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)f′′(x)=2cos(x2)+2x⋅(−sin(x2)⋅2x)=2cos(x2)−4x2sin(x2)答案：f′′(x)=2cos⁡(x2)−4x2sin⁡(x2)f''(x) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)f′′(x)=2cos(x2)−4x2sin(x2)

总结本文出现的符号符号类型读音/说明在本文中的含义ξ\xiξ希腊字母Xi（克西）中值定理中的某一点中英对照中文术语英文术语音标说明高阶导数higher-order derivative/ˈhaɪə ˈɔːdə dɪˈrɪvətɪv/函数的二阶及以上的导数莱布尼茨公式Leibniz formula/ˈlaɪbnɪts ˈfɔːmjələ/求两个函数乘积的高阶导数的公式 上一章节 参数方程求导下一章节 高级导数计算技巧 学习高级导数计算技巧，包括高阶导数、隐函数求导、参数方程求导、对数求导法等。 课程路线图1高等数学之函数探秘

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